

\subsection*{The Index Laws}

\begin{questions}
    \Question[3] State the base and index of:
    \begin{parts}\begin{multicols}{3}
            \part \(10^{4}\)
            \begin{solutionordottedlines}[2cm]
                Base: 10, Index: 4
            \end{solutionordottedlines}
            \part $5$
            \begin{solutionordottedlines}[2cm]
                Base: 5, Index: 1
            \end{solutionordottedlines}
            \part \(6^{0}\)
            \begin{solutionordottedlines}[2cm]
                Base: 6, Index: 0
            \end{solutionordottedlines}
        \end{multicols}\end{parts}
    \Question[3] Express as a power of a prime number.
    \begin{parts}\begin{multicols}{3}
            \part 243
            \begin{solutionordottedlines}[2cm]
                $243 = 3^{5}$
            \end{solutionordottedlines}
            \part 125
            \begin{solutionordottedlines}[2cm]
                $125 = 5^{3}$
            \end{solutionordottedlines}
            \part 81
            \begin{solutionordottedlines}[2cm]
                $81 = 3^{4}$
            \end{solutionordottedlines}
        \end{multicols}\end{parts}
    \Question[3] Evaluate:
    \begin{parts}\begin{multicols}{3}
            \part \(7^{4}\)
            \begin{solutionordottedlines}[2cm]
                $2401$
            \end{solutionordottedlines}
            \part \(2^{3} \times 3^{5}\)
            \begin{solutionordottedlines}[2cm]
                $8 \times 243 = 1944$
            \end{solutionordottedlines}
            \part \(6^{4} \times 3^{2}\)
            \begin{solutionordottedlines}[2cm]
                $1296 \times 9 = 11664$
            \end{solutionordottedlines}
        \end{multicols}\end{parts}
    \Question[3] Express as a product of powers of prime numbers.
    \begin{parts}\begin{multicols}{3}
            \part 90
            \begin{solutionordottedlines}[2cm]
                $90 = 2 \times 3^{2} \times 5$
            \end{solutionordottedlines}
            \part 700
            \begin{solutionordottedlines}[2cm]
                $700 = 2^{2} \times 5^{2} \times 7$
            \end{solutionordottedlines}
            \part 84
            \begin{solutionordottedlines}[2cm]
                $84 = 2^{2} \times 3 \times 7$
            \end{solutionordottedlines}
        \end{multicols}\end{parts}
    \Question[6] Simplify, leaving the answer as a power or a product of powers.
    \begin{parts}\begin{multicols}{3}
            \part \(3^{4} \times 3^{5}\)
            \begin{solutionordottedlines}[2cm]
                $3^{9}$
            \end{solutionordottedlines}
            \part \(3^{4} \times 3^{7}\)
            \begin{solutionordottedlines}[2cm]
                $3^{11}$
            \end{solutionordottedlines}
            \part \(a^{3} \times a^{8}\)
            \begin{solutionordottedlines}[2cm]
                $a^{11}$
            \end{solutionordottedlines}
            \part \(b^{7} \times b^{12}\)
            \begin{solutionordottedlines}[2cm]
                $b^{19}$
            \end{solutionordottedlines}
            \part \(2 y \times 3 y^{4}\)
            \begin{solutionordottedlines}[2cm]
                $6 y^{5}$
            \end{solutionordottedlines}
            \part \(4 b^{2} \times 3 b^{4}\)
            \begin{solutionordottedlines}[2cm]
                $12 b^{6}$
            \end{solutionordottedlines}
        \end{multicols}\end{parts}
    \Question[2] Simplify:
    \begin{parts}\begin{multicols}{2}
            \part \(x^{2} y \times x^{3} y\)
            \begin{solutionordottedlines}[2cm]
                $x^{5} y^{2}$
            \end{solutionordottedlines}
            \part \(5 a^{4} b \times 2 a b^{3}\)
            \begin{solutionordottedlines}[2cm]
                $10 a^{5} b^{4}$
            \end{solutionordottedlines}
        \end{multicols}\end{parts}
    \Question[6] Simplify, leaving the answer as a power or a product of powers.
    \begin{parts}\begin{multicols}{2}
            \part \(5^{4} \div 5\)
            \begin{solutionordottedlines}[2cm]
                $5^{3}$
            \end{solutionordottedlines}
            \part \(7^{5} \div 7^{3}\)
            \begin{solutionordottedlines}[2cm]
                $7^{2}$
            \end{solutionordottedlines}
            \part \(\frac{a^{4}}{a}\)
            \begin{solutionordottedlines}[2cm]
                $a^{3}$
            \end{solutionordottedlines}
            \part \(\frac{a^{5}}{a^{3}}\)
            \begin{solutionordottedlines}[2cm]
                $a^{2}$
            \end{solutionordottedlines}
            \part \(\frac{10 y^{12}}{5 y^{3}}\)
            \begin{solutionordottedlines}[2cm]
                $2 y^{9}$
            \end{solutionordottedlines}
            \part \(\frac{27 p^{4}}{9 p}\)
            \begin{solutionordottedlines}[2cm]
                $3 p^{3}$
            \end{solutionordottedlines}
        \end{multicols}\end{parts}
    \Question[4] Simplify:
    \begin{parts}\begin{multicols}{2}
            \part \[\frac{a^{5} b^{3}}{a^{4} b}\]
            \begin{solutionordottedlines}[2cm]
                $a b^{2}$
            \end{solutionordottedlines}
            \part \[\frac{x^{4} y^{7}}{x^{3} y^{2}}\]
            \begin{solutionordottedlines}[2cm]
                $x y^{5}$
            \end{solutionordottedlines}
            \part \[\frac{16 a^{4} b^{3}}{12 a^{2} b^{2}}\]
            \begin{solutionordottedlines}[2cm]
                $\frac{4}{3} a^{2} b$
            \end{solutionordottedlines}
            \part \[\frac{27 x^{2} y^{3}}{18 x y^{2}}\]
            \begin{solutionordottedlines}[2cm]
                $\frac{3}{2} x y$
            \end{solutionordottedlines}
        \end{multicols}\end{parts}
    \Question[4] Simplify:
    \begin{parts}\begin{multicols}{2}
            \part \[\frac{2 a b^{2}}{3 a^{2} b^{4}} \times \frac{6 a^{4} b^{5}}{a b}\]
            \begin{solutionordottedlines}[2cm]
                $4 a b^{-1}$
            \end{solutionordottedlines}
            \part \[\frac{12 x^{4} y^{3}}{3 x^{2} y} \times \frac{x^{2} y^{4}}{x^{3} y^{5}}\]
            \begin{solutionordottedlines}[2cm]
                $4 x y$
            \end{solutionordottedlines}
            \part \[\frac{14 a^{4} b^{3}}{3 a b^{2}} \div \frac{7 a^{5} b^{4}}{6 a^{3} b^{5}}\]
            \begin{solutionordottedlines}[2cm]
                $8 a^{2} b^{-4}$
            \end{solutionordottedlines}
            \part \[\frac{12 x^{2} y}{x^{3} y^{4}} \div \frac{6 x y^{2}}{x^{6} y^{7}}\]
            \begin{solutionordottedlines}[2cm]
                $2 x^{-7} y^{-8}$
            \end{solutionordottedlines}
        \end{multicols}\end{parts}
    \Question[9] Copy and complete.
    \begin{parts}\begin{multicols}{3}
            \part \(4 a^{3} \times \fillin[][1cm]=12 a^{7}\)
            \begin{solutionordottedlines}[2cm]
                $3 a^{4}$
            \end{solutionordottedlines}
            \part \(a^{8} \div \fillin[][1cm]=a^{4}\)
            \begin{solutionordottedlines}[2cm]
                $a^{4}$
            \end{solutionordottedlines}
            \part \(x^{10} \div \fillin[][1cm]=x^{6}\)
            \begin{solutionordottedlines}[2cm]
                $x^{4}$
            \end{solutionordottedlines}
            \part \(9 d^{6} \div \fillin[][1cm]=3 d\)
            \begin{solutionordottedlines}[2cm]
                $3 d^{5}$
            \end{solutionordottedlines}
            \part \(m^{4} n^{5} \times \fillin[][1cm]=m^{10} n^{7}\)
            \begin{solutionordottedlines}[2cm]
                $m^{6} n^{2}$
            \end{solutionordottedlines}
            \part \(a^{7} b^{4} \div \fillin[][1cm]=a^{2} b\)
            \begin{solutionordottedlines}[2cm]
                $a^{5} b^{3}$
            \end{solutionordottedlines}
            \part \(14 x^{5} y^{2} \times \fillin[][1cm]=42 x^{10} y^{5}\)
            \begin{solutionordottedlines}[2cm]
                $3 x^{5} y^{3}$
            \end{solutionordottedlines}
            \part \(9 m^{7} n^{4} \div \fillin[][1cm]=3 m^{2}\)
            \begin{solutionordottedlines}[2cm]
                $3 m^{5} n^{4}$
            \end{solutionordottedlines}
            \part \(18 p^{2} q^{6} \div \fillin[][1cm]=3 p q\)
            \begin{solutionordottedlines}[2cm]
                $6 p q^{5}$
            \end{solutionordottedlines}
        \end{multicols}\end{parts}
    \Question[2] Simplify:
    \begin{parts}\begin{multicols}{2}
            \part \(x y^{0}\)
            \begin{solutionordottedlines}[2cm]
                $x$
            \end{solutionordottedlines}
            \part \(7 x^{0} y^{0}\)
            \begin{solutionordottedlines}[2cm]
                $7$
            \end{solutionordottedlines}
        \end{multicols}\end{parts}
    \Question[6] Simplify:
    \begin{parts}\begin{multicols}{2}
            \part \((4 a)^{0}\)
            \begin{solutionordottedlines}[2cm]
                $1$
            \end{solutionordottedlines}
            \part \((3 b)^{0}\)
            \begin{solutionordottedlines}[2cm]
                $1$
            \end{solutionordottedlines}
            \part \((2 a+1)^{0}\)
            \begin{solutionordottedlines}[2cm]
                $1$
            \end{solutionordottedlines}
            \part \((4 a+3 b)^{0}\)
            \begin{solutionordottedlines}[2cm]
                $1$
            \end{solutionordottedlines}
            \part \(\left(5 m^{0}+7 b\right)^{0}\)
            \begin{solutionordottedlines}[2cm]
                $1$
            \end{solutionordottedlines}
            \part \(\left(6 m-2 c^{0}\right)^{0}\)
            \begin{solutionordottedlines}[2cm]
                $1$
            \end{solutionordottedlines}
        \end{multicols}\end{parts}
    \Question[2] Simplify, leaving the answer as a power.
    \begin{parts}\begin{multicols}{2}
            \part \(\left(a^{2}\right)^{5}\)
            \begin{solutionordottedlines}[2cm]
                $a^{10}$
            \end{solutionordottedlines}
            \part \(\left(y^{5}\right)^{6}\)
            \begin{solutionordottedlines}[2cm]
                $y^{30}$
            \end{solutionordottedlines}
        \end{multicols}\end{parts}
    \Question[1] Simplify \[\frac{\left(y^{3}\right)^{4}}{\left(y^{4}\right)^{2}}\]
    \begin{solutionordottedlines}[2cm]
        $y^{4}$
    \end{solutionordottedlines}
    \Question[1] Simplify \[\frac{3\left(x^{3} y\right)^{2}}{\left(x^{2} y\right)^{2}} \div \frac{12 x^{4} y^{2}}{\left(2 x^{3} y\right)^{2}}\]
    \begin{solutionordottedlines}[2cm]
        $\frac{3}{4}$
    \end{solutionordottedlines}
    \Question[6] Copy and complete (using index law 3).
    \begin{parts}\begin{multicols}{2}
            \part \(\left(a^{6}\right)^{\fillin[][1cm]}=a^{24}\)
            \begin{solutionordottedlines}[2cm]
                $4$
            \end{solutionordottedlines}
            \part \(\left(b^{3}\right)^{\fillin[][1cm]}=b^{21}\)
            \begin{solutionordottedlines}[2cm]
                $7$
            \end{solutionordottedlines}
            \part \(\left(m^{6}\right) \fillin[][1cm]=m^{30}\)
            \begin{solutionordottedlines}[2cm]
                $5$
            \end{solutionordottedlines}
            \part \((\fillin[][1cm])^{6}=p^{36}\)
            \begin{solutionordottedlines}[2cm]
                $p^{6}$
            \end{solutionordottedlines}
            \part \((\fillin[][1cm])^{4}=a^{8}\)
            \begin{solutionordottedlines}[2cm]
                $a^{2}$
            \end{solutionordottedlines}
            \part \((\fillin[][1cm])^{3}=m^{15}\)
            \begin{solutionordottedlines}[2cm]
                $m^{5}$
            \end{solutionordottedlines}
        \end{multicols}\end{parts}
    \Question[6]$\,$
    \begin{parts}
        \part Is it true that \(\left(a^{2}\right)^{6}=\left(a^{6}\right)^{2}\) ?
        \begin{solutionordottedlines}[2cm]
            Yes, both equal $a^{12}$.
        \end{solutionordottedlines}
        \part Is it true that \(\left(b^{4}\right)^{7}=\left(b^{7}\right)^{4}\) ?
        \begin{solutionordottedlines}[2cm]
            Yes, both equal $b^{28}$.
        \end{solutionordottedlines}
        \part Generalise your result.
        \begin{solutionordottedlines}[2cm]
            \(\left(a^{m}\right)^{n}=\left(a^{n}\right)^{m}=a^{mn}\)
        \end{solutionordottedlines}
    \end{parts}

     \Question[4] Simplify by expanding the brackets.                                                                                                       
     \begin{parts}\begin{multicols}{2}                                                                                                                      
         \part \(\left(x y^{3}\right)^{2}\)                                                                                                                 
             \begin{solutionordottedlines}[2cm]                                                                                                             
                 \(x^2 y^6\)                                                                                                                                
             \end{solutionordottedlines}                                                                                                                    
         \part \(\left(a^{2} b\right)^{4}\)                                                                                                                 
             \begin{solutionordottedlines}[2cm]                                                                                                             
                 \(a^8 b^4\)                                                                                                                                
             \end{solutionordottedlines}                                                                                                                    
         \part \(\left(\frac{a}{b}\right)^{5}\)                                                                                                             
             \begin{solutionordottedlines}[2cm]                                                                                                             
                 \(\frac{a^5}{b^5}\)                                                                                                                        
             \end{solutionordottedlines}                                                                                                                    
         \part \(\left(\frac{x^{2}}{y}\right)^{3}\)                                                                                                         
             \begin{solutionordottedlines}[2cm]                                                                                                             
                 \(\frac{x^6}{y^3}\)                                                                                                                        
             \end{solutionordottedlines}                                                                                                                    
     \end{multicols}\end{parts}                                                                                                                             
     \Question[2] Simplify:                                                                                                                                 
     \begin{parts}                                                                                                                                          
         \part \[\left(\frac{x^{3}}{y^{2}}\right)^{2} \div\left(\frac{x}{y^{2}}\right)^{3}\]                                                                
             \begin{solutionordottedlines}[2cm]                                                                                                             
                 \(x^3\)                                                                                                                                    
             \end{solutionordottedlines}                                                                                                                    
         \part \[\left(\frac{2 x^{4}}{y}\right)^{5} \div\left(\frac{4 x^{3}}{y^{3}}\right)^{2}\]                                                            
             \begin{solutionordottedlines}[2cm]                                                                                                             
                 \(\frac{32 x^{8}}{y}\)                                                                                                                     
             \end{solutionordottedlines}                                                                                                                    
     \end{parts}                                                                                                                                            
     \Question[2] Simplify:                                                                                                                                 
     \begin{parts}                                                                                                                                          
         \part \[\frac{\left(2 x^{2} y^{3}\right)^{3} \times\left(5 x y^{2}\right)^{2}}{\left(10 x^{2} y\right)^{2} \times(x y)^{3}}\]                      
             \begin{solutionordottedlines}[2cm]                                                                                                             
                 \(25 y\)                                                                                                                                   
             \end{solutionordottedlines}                                                                                                                    
         \part \[\frac{(6 a b)^{3} \times 2 a^{7} b^{4}}{(2 a b)^{4} \times\left(3 a^{2} b\right)^{2}}\]                                                    
             \begin{solutionordottedlines}[2cm]                                                                                                             
                 \(3 a^2\)                                                                                                                                  
             \end{solutionordottedlines}                                                                                                                    
     \end{parts}                                                                                                                                            
     \Question[9] Copy and complete.                                                                                                                        
     \begin{parts}\begin{multicols}{3}                                                                                                                      
         \part \((a^2 b^3)^{4}=a^{8} b^{12}\)                                                                                                               
         \part \((m^5 n^4)^{6}=m^{30} n^{24}\)                                                                                                              
         \part \(\left(p^{3} q\right)^3=p^{9} q^{3}\)                                                                                                       
         \part \(\left(x^{4} y^{7}\right)^{-1}=1\)                                                                                                          
         \part \((2 a^2)^{4}=16 a^{8}\)                                                                                                                     
         \part \((3 q^3)^{3}=27 q^{9}\)                                                                                                                     
         \part \((7 m^3)^{2}=49 m^{6}\)                                                                                                                     
         \part \((4 \ell^3 m)^{3}=64 \ell^{9} m^{3}\)                                                                                                       
         \part \((5 m^5 n^3)^{2}=25 m^{10} n^{6}\)                                                                                                          
     \end{multicols}\end{parts}                                                                                                                             
 \end{questions}                                                                                                                                            
                                                                                                                                                            
 \subsection*{Negative Indices}                                                                                                                             
                                                                                                                                                            
 \begin{questions}                                                                                                                                          
     \Question[6] Express with a positive index and then evaluate.                                                                                          
     \begin{parts}\begin{multicols}{2}                                                                                                                      
         \part \(3^{-2}\)                                                                                                                                   
             \begin{solutionordottedlines}[2cm]                                                                                                             
                 \(\frac{1}{9}\)                                                                                                                            
             \end{solutionordottedlines}                                                                                                                    
         \part \(6^{-2}\)                                                                                                                                   
             \begin{solutionordottedlines}[2cm]                                                                                                             
                 \(\frac{1}{36}\)                                                                                                                           
             \end{solutionordottedlines}                                                                                                                    
         \part \(9^{-2}\)                                                                                                                                   
             \begin{solutionordottedlines}[2cm]                                                                                                             
                 \(\frac{1}{81}\)                                                                                                                           
             \end{solutionordottedlines}                                                                                                                    
         \part \(5^{-3}\)                                                                                                                                   
             \begin{solutionordottedlines}[2cm]                                                                                                             
                 \(\frac{1}{125}\)                                                                                                                          
             \end{solutionordottedlines}                                                                                                                    
         \part \(3^{-4}\)                                                                                                                                   
             \begin{solutionordottedlines}[2cm]                                                                                                             
                 \(\frac{1}{81}\)                                                                                                                           
             \end{solutionordottedlines}                                                                                                                    
         \part \(10^{-5}\)                                                                                                                                  
             \begin{solutionordottedlines}[2cm]                                                                                                             
                 \(\frac{1}{100000}\)                                                                                                                       
             \end{solutionordottedlines}                                                                                                                    
     \end{multicols}\end{parts}                                                                                                                             
     \Question[6] Write each fraction as a power of a prime with a negative index.                                                                          
     \begin{parts}\begin{multicols}{2}                                                                                                                      
         \part \(\frac{1}{27}\)                                                                                                                             
             \begin{solutionordottedlines}[2cm]                                                                                                             
                 \(3^{-3}\)                                                                                                                                 
             \end{solutionordottedlines}                                                                                                                    
         \part \(\frac{1}{49}\)                                                                                                                             
             \begin{solutionordottedlines}[2cm]                                                                                                             
                 \(7^{-2}\)                                                                                                                                 
             \end{solutionordottedlines}                                                                                                                    
         \part \(\frac{1}{121}\)                                                                                                                            
             \begin{solutionordottedlines}[2cm]                                                                                                             
                 \(11^{-2}\)                                                                                                                                
             \end{solutionordottedlines}                                                                                                                    
         \part \(\frac{1}{125}\)                                                                                                                            
             \begin{solutionordottedlines}[2cm]                                                                                                             
                 \(5^{-3}\)                                                                                                                                 
             \end{solutionordottedlines}                                                                                                                    
         \part \(\frac{1}{169}\)                                                                                                                            
             \begin{solutionordottedlines}[2cm]                                                                                                             
                 \(13^{-2}\)                                                                                                                                
             \end{solutionordottedlines}                                                                                                                    
         \part \(\frac{1}{81}\)                                                                                                                             
             \begin{solutionordottedlines}[2cm]                                                                                                             
                 \(3^{-4}\)                                                                                                                                 
             \end{solutionordottedlines}                                                                                                                    
     \end{multicols}\end{parts}                                                                                                                             
     \Question[6] Express with positive indices, evaluating where possible.                                                                                 
     \begin{parts}\begin{multicols}{2}                                                                                                                      
         \part \(3 a^{-4}\)                                                                                                                                 
             \begin{solutionordottedlines}[2cm]                                                                                                             
                 \(\frac{3}{a^4}\)                                                                                                                          
             \end{solutionordottedlines}                                                                                                                    
         \part \(5 x^{-7}\)                                                                                                                                 
             \begin{solutionordottedlines}[2cm]                                                                                                             
                 \(\frac{5}{x^7}\)                                                                                                                          
             \end{solutionordottedlines}                                                                                                                    
         \part \(4 a^{-5}\)                                                                                                                                 
             \begin{solutionordottedlines}[2cm]                                                                                                             
                 \(\frac{4}{a^5}\)                                                                                                                          
             \end{solutionordottedlines}                                                                                                                    
         \part \(\frac{1}{x^{-3}}\)                                                                                                                         
             \begin{solutionordottedlines}[2cm]                                                                                                             
                 \(x^3\)                                                                                                                                    
             \end{solutionordottedlines}                                                                                                                    
         \part \(3^{-2} a^{-2}\)                                                                                                                            
             \begin{solutionordottedlines}[2cm]                                                                                                             
                 \(\frac{1}{9 a^2}\)                                                                                                                        
             \end{solutionordottedlines}                                                                                                                    
         \part \(4^{-2} x^{-2}\)                                                                                                                            
             \begin{solutionordottedlines}[2cm]                                                                                                             
                 \(\frac{1}{16 x^2}\)                                                                                                                       
             \end{solutionordottedlines}                                                                                                                    
     \end{multicols}\end{parts}                                                                                                                             
     \Question[4] Simplify where possible and then evaluate.                                                                                                
     \begin{parts}\begin{multicols}{2}                                                                                                                      
         \part \(\left(3 \frac{1}{3}\right)^{-2}\)                                                                                                          
             \begin{solutionordottedlines}[2cm]                                                                                                             
                 \(\frac{1}{11.11}\)                                                                                                                        
             \end{solutionordottedlines}                                                                                                                    
         \part \(\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}\)                                                                                                            
             \begin{solutionordottedlines}[2cm]                                                                                                             
                 \(\frac{27}{8}\)                                                                                                                           
             \end{solutionordottedlines}                                                                                                                    
         \part \(7^{3} \times 7^{-5}\)                                                                                                                      
             \begin{solutionordottedlines}[2cm]                                                                                                             
                 \(7^{-2}\)                                                                                                                                 
             \end{solutionordottedlines}                                                                                                                    
         \part \(4^{3} \times 4^{-5}\)                                                                                                                      
             \begin{solutionordottedlines}[2cm]                                                                                                             
                 \(4^{-2}\)                                                                                                                                 
             \end{solutionordottedlines}                                                                                                                    
     \end{multicols}\end{parts}                                                                                                                             
     \Question[6] Write as a single power and then evaluate.                                                                                                
     \begin{parts}\begin{multicols}{2}                                                                                                                      
         \part \[\frac{3^{8}}{3^{9}}\]                                                                                                                      
             \begin{solutionordottedlines}[2cm]                                                                                                             
                 \(3^{-1}\)                                                                                                                                 
             \end{solutionordottedlines}                                                                                                                    
         \part \[\frac{6^{5}}{6^{8}}\]                                                                                                                      
             \begin{solutionordottedlines}[2cm]                                                                                                             
                 \(6^{-3}\)                                                                                                                                 
             \end{solutionordottedlines}                                                                                                                    
         \part \[\frac{7^{1}}{7^{3}}\]                                                                                                                      
             \begin{solutionordottedlines}[2cm]                                                                                                             
                 \(7^{-2}\)                                                                                                                                 
             \end{solutionordottedlines}                                                                                                                    
         \part \[\frac{5^{7}}{5^{10}}\]                                                                                                                     
             \begin{solutionordottedlines}[2cm]                                                                                                             
                 \(5^{-3}\)                                                                                                                                 
             \end{solutionordottedlines}                                                                                                                    
         \part \[\frac{3^{5}}{3^{9}}\]                                                                                                                      
             \begin{solutionordottedlines}[2cm]                                                                                                             
                 \(3^{-4}\)                                                                                                                                 
             \end{solutionordottedlines}                                                                                                                    
         \part \[\frac{12^{12}}{12^{14}}\]                                                                                                                  
             \begin{solutionordottedlines}[2cm]                                                                                                             
                 \(12^{-2}\)                                                                                                                                
             \end{solutionordottedlines}                                                                                                                    
     \end{multicols}\end{parts}                                                                                                                             
     \Question[3] Express with negative index.                                                                                                              
     \begin{parts}\begin{multicols}{3}                                                                                                                      
         \part \(\frac{3}{2 x^{4}}\)                                                                                                                        
             \begin{solutionordottedlines}[2cm]                                                                                                             
                 \(3 \cdot 2^{-1} x^{-4}\)                                                                                                                  
             \end{solutionordottedlines}                                                                                                                    
         \part \(\frac{4}{3 x^{7}}\)                                                                                                                        
             \begin{solutionordottedlines}[2cm]                                                                                                             
                 \(4 \cdot 3^{-1} x^{-7}\)                                                                                                                  
             \end{solutionordottedlines}                                                                                                                    
         \part \(\frac{2}{3 x^{5}}\)                                                                                                                        
             \begin{solutionordottedlines}[2cm]                                                                                                             
                 \(2 \cdot 3^{-1} x^{-5}\)                                                                                                                  
             \end{solutionordottedlines}                                                                                                                    
     \end{multicols}\end{parts}                                                                                                                             
     \Question[7] Evaluate.                                                                                                                                 
     \begin{parts}\begin{multicols}{3}                                                                                                                      
         \part \(\left(\frac{4}{5}\right)^{-2}\)                                                                                                            
             \begin{solutionordottedlines}[2cm]                                                                                                             
                 \(\frac{25}{16}\)                                                                                                                          
             \end{solutionordottedlines}                                                                                                                    
         \part \(\left(2 \frac{1}{4}\right)^{-2}\)                                                                                                          
             \begin{solutionordottedlines}[2cm]                                                                                                             
                 \(\frac{16}{81}\)                                                                                                                          
             \end{solutionordottedlines}                                                                                                                    
         \part \(\left(1 \frac{1}{5}\right)^{-3}\)                                                                                                          
             \begin{solutionordottedlines}[2cm]                                                                                                             
                 \(\frac{125}{216}\)                                                                                                                        
             \end{solutionordottedlines}                                                                                                                    
     \end{multicols}\end{parts}                                                                                                                             
     \Question[9] Simplify, expressing the answer with positive indices.                                                                                    
     \begin{parts}\begin{multicols}{3}                                                                                                                      
         \part \(a^{-3} b^{-5} \times a^{5} b^{-3}\)                                                                                                        
             \begin{solutionordottedlines}[2cm]                                                                                                             
                 \(a^2 b^{-8}\)                                                                                                                             
             \end{solutionordottedlines}                                                                                                                    
         \part \(3 x^{-2} y^{5} \times 5 x^{-7} y^{-2}\)                                                                                                    
             \begin{solutionordottedlines}[2cm]                                                                                                             
                 \(15 x^{-9} y^3\)                                                                                                                          
             \end{solutionordottedlines}                                                                                                                    
         \part \(7 a^{3} m^{-4} \times 8 a^{-5} m^{-3}\)                                                                                                    
             \begin{solutionordottedlines}[2cm]                                                                                                             
                 \(56 a^{-2} m^{-7}\)                                                                                                                       
             \end{solutionordottedlines}                                                                                                                    
         \part \(3 r^{2} s^{3} \times 4 r^{-3} s^{-5}\)                                                                                                     
             \begin{solutionordottedlines}[2cm]                                                                                                             
                 \(12 r^{-1} s^{-2}\)                                                                                                                       
             \end{solutionordottedlines}                                                                                                                    
         \part \(\frac{16 a^{-4}}{8 a^{5}}\)                                                                                                                
             \begin{solutionordottedlines}[2cm]                                                                                                             
                 \(2 a^{-9}\)                                                                                                                               
             \end{solutionordottedlines}                                                                                                                    
         \part \(\frac{18 a^{-4}}{4 a^{5}}\)                                                                                                                
             \begin{solutionordottedlines}[2cm]                                                                                                             
                 \(4.5 a^{-9}\)                                                                                                                             
             \end{solutionordottedlines}                                                                                                                    
         \part \(\frac{27 m^{-3}}{9 m^{-2}}\)                                                                                                               
             \begin{solutionordottedlines}[2cm]                                                                                                             
                 \(3 m^{-1}\)                                                                                                                               
             \end{solutionordottedlines}                                                                                                                    
         \part \(\frac{72 a^{4} b^{-3}}{36 a b^{-2}}\)                                                                                                      
             \begin{solutionordottedlines}[2cm]                                                                                                             
                 \(2 a^3 b^{-1}\)                                                                                                                           
             \end{solutionordottedlines}                                                                                                                    
         \part \(\frac{7 a^{2} b^{-3} c^{-4}}{21 a^{5} b^{-7} c^{-9}}\)                                                                                     
             \begin{solutionordottedlines}[2cm]                                                                                                             
                 \(\frac{1}{3} a^{-3} b^4 c^5\)                                                                                                             
             \end{solutionordottedlines}                                                                                                                    
     \end{multicols}\end{parts}                                                                                                                             
     \Question[9] Copy and complete.                                                                                                                        
     \begin{parts}\begin{multicols}{3}                                                                                                                      
         \part \(9^{5} \times 9^{-1}=9^{4}\)                                                                                                                
         \part \(b^{9} \times b^{-2}=b^{7}\)                                                                                                                
         \part \(a^{11} \div a^{-3}=a^{14}\)                                                                                                                
         \part \(b^{7} \div b^{-8}=b^{15}\)                                                                                                                 
         \part \(e^{-7} \div e^{2}=e^{-5}\)                                                                                                                 
         \part \(\left(m^{-2}\right)^{-5}=m^{10}\)                                                                                                          
         \part \((3 a^3)^{-3}=\frac{1}{27 a^{9}}\)                                                                                                          
         \part \((\frac{a^2}{b^3})^{-3}=\frac{a^{6}}{b^{9}}\)                                                                                               
         \part \((\frac{m^2 n^3}{p})^{-6}=\frac{m^{12} n^{18}}{p^{6}}\)                                                                                     
     \end{multicols}\end{parts}                                                                                                                             
     \Question[6] Simplify, expressing the answers with positive indices. Evaluate powers where possible.                                                   
     \begin{parts}\begin{multicols}{2}                                                                                                                      
         \part \[\left(5 x^{4} y^{6}\right)^{-3} \times\left(5^{2} x y^{-1}\right)^{3}\]                                                                    
             \begin{solutionordottedlines}[2cm]                                                                                                             
                 \(x^{-9} y^{-9}\)                                                                                                                          
             \end{solutionordottedlines}                                                                                                                    
         \part \[\left(5 m^{2} n^{-3}\right)^{-2} \times 2\left(m^{-2} n^{3}\right)^{2}\]                                                                   
             \begin{solutionordottedlines}[2cm]                                                                                                             
                 \(2 m^{-2} n^{6}\)                                                                                                                         
             \end{solutionordottedlines}                                                                                                                    
         \part \[\frac{\left(x^{2}\right)^{2}}{y} \times \frac{\left(y^{2}\right)^{-3}}{x^{3}}\]                                                            
             \begin{solutionordottedlines}[2cm]                                                                                                             
                 \(x y^{-5}\)                                                                                                                               
             \end{solutionordottedlines}                                                                                                                    
         \part \[\frac{\left(2 x^{3}\right)^{-2}}{y^{4}} \times \frac{\left(2 x^{7}\right)^{2}}{3 y^{5}}\]                                                  
             \begin{solutionordottedlines}[2cm]                                                                                                             
                 \(\frac{8 x^{10}}{3 y^{9}}\)                                                                                                               
             \end{solutionordottedlines}                                                                                                                    
         \part \[\frac{\left(m^{2} n^{3}\right)^{2}}{p^{-3}} \times\left(m n p^{-2}\right)^{-3}\]                                                           
             \begin{solutionordottedlines}[2cm]                                                                                                             
                 \(m^{-1} n^{-6} p^3\)                                                                                                                      
             \end{solutionordottedlines}                                                                                                                    
         \part \[\frac{\left(a^{2}\right)^{3}}{b^{3}} \div\left(\frac{a}{b^{2}}\right)^{-2}\]                                                               
             \begin{solutionordottedlines}[2cm]                                                                                                             
                 \(a^7 b\)                                                                                                                                  
             \end{solutionordottedlines}                                                                                                                    
         \part \[\frac{\left(3 m^{2} n^{3}\right)^{-2}}{p^{4}} \div \frac{p^{-3}}{m}\]                                                                      
             \begin{solutionordottedlines}[2cm]                                                                                                             
                 \(\frac{m^5}{9 n^6 p}\)                                                                                                                    
             \end{solutionordottedlines}                                                                                                                    
     \end{multicols}\end{parts}                                                                                                                             
 \end{questions}                                                                                                                                            
                                                                                                                                                            
